^* 열적 평형상태(thermal equilibrium): 온도가 다른 두 물체를 접촉한 후 충분한 시간이 지나면 두 물체의 온도가 같아진다. 이때 양방향으로 이동하는 열의 양이 같아져 열이 이동하지 않는 것과 같은 상태가 되며, 이를 열적 평형상태라고 한다.

[붙임] 연구결과 개요

1. 연구배경

경제란 사람이 살아가는 데 필요한 것을 생산하고, 이를 분배해 소비하는 모든 활동을 일컫는다. 기존의 경제학은 생산과 소비에 관해서는 심도 있는 연구가 이루어져 왔지만, 여러 상황에서 갈등의 씨앗이 되는 분배에 대해서는 합리적이면서 공정한 원칙을 제시하지 못하는 실정이다. 각기 다른 상황의 모든 이해당사자를 만족시키면서 한정된 자원을 자연스럽고 공정하게 분배하는 것은 현실적으로 불가능에 가까운 일이기 때문이다.

공정 분배(Distributive Justice)는 사회 정의(Social Justice)와도 밀접하게 관련돼 있으며 오랫동안 인류는 공정한 분배 문제에 관해 끊임없이 논쟁을 벌여 왔다. 경제학자를 포함한 많은 학자는 공정한 분배 문제를 대표하는 케이크 자르기(cake-cutting) 문제를 풀기 위하여 ‘내가 자르고, 네가 고르기(Cut-and-choose)’와 같은 다양한 분할 방법을 제안했다. 하지만 기존의 방법은 매우 복잡한 계산이 필요하고 인간 행동에 대한 비현실적인 가정 때문에 실제 문제에 적용하기 힘든 한계점을 가지고 있다.

2. 연구내용

본 연구에서는 ‘볼츠만 공정분배원칙’을 사용해 완전히 다른 관점에서 공정하게 케이크(한정된 자원)를 자르는 방법을 제안했다. 물리학에서 영감을 받은 볼츠만 공정분배원칙은 케이크 자르기 참가자 중심의 분배 프로세스가 아닌 ‘나누어야 하는 케이크 중심’의 분배 프로세스를 기반으로 했으며, 본 연구진은 볼츠만 공정분배원칙을 이용해 가장 자연스러우면서도 편향되지 않은 분배 방법을 제안할 수 있었다.

볼츠만 공정분배원칙의 수학적 모델은 동등 분배 문제(Homogeneous division problem)와 차등 분배 문제(Heterogeneous division problem) 두 가지 모두에 적용할 수 있게 설계됐다(Park et al., Scientific Reports(2022), 12:16179). 본 연구에서는 볼츠만 공정분배원칙에 참가자들의 핵심요소인 기여도, 필요도 및 선호도를 성공적으로 통합했으며 참가자들의 총효용의 합을 극대화해 분배를 최적화할 수 있었다. 기존의 분배방법과 비교해 본 연구진이 제시한 모델은 현실적인 인적 요소를 통합할 수 있고 매우 간단해서 여러 참가자의 문제로 쉽게 확장할 수 있는 장점이 있다.

3. 기대효과

본 연구의 결과는 새롭게 제시된 볼츠만 공정분배원칙이 균형이 잘 잡힌 분배 방법이며, 특히 사회적 약자나 소외계층에게 우호적으로 작용한다는 것을 알 수 있다. 따라서 볼츠만 공정분배원칙을 이용한 분배는 사회 계층 간의 불평등을 감소시킬 수 있는 공정분배의 기준을 마련해 줄 수 있을 것이다. 이를 통해 소득불평등 문제 해소나 기후변화에 대한 국제 협상 등과 같은 복잡한 현실 세계 문제를 해결하는 데 기여할 것으로 기대된다.

[붙임] 용어설명

1. 볼츠만 공정분배원칙(The Boltzmann Fair Division)

물리학의 볼츠만 분포에 착안해 두 가지 조건을 만족시키는 경제학의 분배원칙. ① 한정된 자원의 분배과정에서 참가자들의 인적 요소(예: 기여도, 필요도 및 선호도)를 고려하며, 엔트로피를 극대화한다. ② 분배과정에 참여하는 모든 참가자의 효용(행복감 혹은 만족감)의 합을 극대화하도록 최적화한다.

2. 효용(Utility)

경제학에서 효용이란, 의사결정자가 어떤 행동의 결과로 얻는 주관적인 행복감이나 만족감을 의미한다. 예를 들면, 소비자가 재화나 서비스를 소비함으로써 얻는 만족감이 효용이 될 수 있다.

3. 볼츠만 공정분배원칙의 수식

n명의 참여자에게 한정된 자원이 배분되는 상황을 고려하자. j 번째 참여자는 Ej 에 해당하는 자원 생성에 대한 기여도를 가지고 있다고 가정한다. 볼츠만 공정분배원칙에 따르면, j번째 참여자에게 자원이 배분될 확률(Pj)은 아래와 같은 수식을 따르게 된다. 여기서 β는 양의 상수로 ‘사회적 온도(Ts)’의 역수에 비례한다 (β ∝1/Ts).

[붙임] 그림 설명

그림 1. 볼츠만 공정분배원칙을 이용한 케이크 자르기

경제학의 창시자 애덤 스미스(왼쪽 1번째), 천재 물리학자 아인슈타인, 인류 최고의 천재 폰 노이만, 그리고 이제 6살이 된 어린이가 유일한 식량인 케이크(한정된 자원)를 나눈다면 과연 모든 사람이 만족할 수 있는 공정한 방법을 찾을 수 있을까? 참여자가 두 사람인 경우는 유명한 문제이고, 독자들도 대부분 답을 알고 있을 것이다. 그렇지만 여러 사람이 모두 만족하도록 케이크 하나를 나누는 것은 일류의 수학자들에게도 쉬운 문제가 아니고 케이크 생성의 기여도, 케이크의 필요도 등이 서로 다른 경우의 해결책을 찾는 것은 경제학의 최대의 난제 중 하나라고 할 수 있다. 참여자 모두가 만족할 수 있는 보편적 분배원칙을 찾아내는 것이 불가능하다면, 참여자들의 주관적 주장을 배제해 사물 중심으로 분배를 하는 것으로 발상을 전환해야 한다. 볼츠만 공정분배원칙은 케이크를 나누고자 하는 사람들의 핵심요소들을 고려해 사물 중심으로 분배하고 참여자들의 총효용(행복감 혹은 만족감)의 합을 극대화해 분배를 최적화한다. <Copyright 2022. 박지원. All right reserved.> 

그림 2. 볼츠만 공정분배원칙을 이용한 복잡한 케이크 자르기

세상에는 전체가 한 가지 맛만을 가지는 단순한 케이크(한정된 자원)만 존재하는 것은 아니다. 바닐라, 초코, 딸기, 브로콜리 등 각기 다른 맛을 가지는 케이크가 분배의 대상이라면 여러 참여자가 선호하는 부분도 제각기 다를 것이다. 볼츠만 공정분배원칙은 다수 참여자의 서로 다른 선호도를 고려해야만 하는 복잡한 상황에도 적용이 가능하다.